Un­ter­richts­ma­te­rial

Un­ter­richts­ein­hei­ten

Rech­nen mit Ein­hei­ten

Wer Bremspedal und Kupplung nicht oh­ne zu über­le­gen be­die­nen kann, wird nie ein gu­ter Au­to­fah­rer, und wes­sen Gehirn schon mit dem Um­for­men von Glei­chun­gen und dem Rech­nen mit Ein­hei­ten aus­ge­lastet ist, wird den Kopf nicht frei ha­ben, um das tech­ni­sche Pro­blem zu ver­ste­hen.
Um dies et­was üben zu kön­nen, ha­be ich die falsch ge­lösten Auf­ga­ben ei­ni­ger Klas­sen­ar­bei­ten zu­sam­men­ge­stellt: Übungs­auf­ga­ben zum Rech­nen mit Ein­hei­ten.

Kop­frech­nen mit "Zu­letzt ge­winnt"

"Zu­letzt ge­winnt" ist ein Lern­spiel, mit dem Kop­frech­nen geübt wer­den kann.
Spiel­ge­dan­ke: Zwei Spie­ler spie­len auf ei­nem Spiel­feld mit Zah­len von 1 bis z.B. 100. Im ersten Zug streicht ein Spie­ler ei­ne be­lie­bi­ge Zahl. In den wei­te­ren Zü­gen strei­chen die Spie­ler ab­wech­selnd je ei­ne Zahl, die ein Tei­ler oder ein Viel­fa­ches der Vor­her­ge­hen­den sein muss. Ver­lo­ren hat, wer kei­ne er­laub­te Zahl mehr fin­det. Wenn ein Spie­ler ge­win­nen will, muss er Zü­ge vor­aus­be­rech­nen und übt so das Kop­frech­nen.
Es spie­len zwar nur 2 Spie­ler mit- bzw. ge­ge­nei­nan­der, aber wenn man kur­ze Zah­len­rei­hen ver­wen­det, sind auch klei­ne Tur­nie­re für Grup­pen mög­lich.

Her­stel­lung des Spie­les

Kosten­rech­nun­gen

Der Kosten­ver­gleich zwi­schen Fahr­zeu­gen mit Ot­to- und Die­sel­mo­to­ren sie­he Lern­feld 01 für Kfz-Me­cha­tro­ni­ker .

Sta­tik

Dreh­mo­ment - Leistung - Dreh­zahl - Über­set­zun­gen - Ge­schwin­dig­keit

Sie­he Lern­feld 01 für Kfz-Me­cha­tro­ni­ker .

Win­kel­funk­tio­nen

Die Rettung: CAD statt Winkelfunktionen

Wenn man Winkelfunktionen nur benötigt, um konkrete Längen zu ermitteln, gib es eine pragmatische Lösung ohne Mathematik: Man zeichnet das Problem in CAD und misst die gesuchte Länge in beliebiger Genauigkeit ab.

Beispiel
Screenshot des Fliegenklatschenblattes
Abb. Fliegenklatschenblatt

Das Beispiel stammt aus dem Tutorial Fliegenklatsche mit FreeCAD.

Das Wabenmuster im Fliegenklatschenblatt besteht aus regelmäßigen Sechsecken SW3,5 (SW = Schlüsselweite [mm] = Inkreisdurchmesser). Die Wandstärke zwischen den Sechsecken beträgt 0,87 mm.
Wie groß sind die Abstände (Mitte - Mitte) zwischen ...

  • ... zwei waagerecht benachbarten Sechsecken (ax)?
  • ... zwei schräg benachbarten Sechsecken (as)?
  • ... zwei genau senkrecht übereinander stehenden Sechsecken der ersten und der dritten waagerechten Reihe (ay)?
Lösung

Für waagerecht und schräge Nachbarn setzt sich die Lösung zusammen aus der Schlüsselweite des Sechskants und der Wandstärke, also:
ax = as = 3,5 mm + 0,87 mm = 4,37 mm.

Für den senkrechten Abstand zwischen zwei Mustern könnte man Winkelfunktionen bemühen:
ay = 2 * (Schlüsselweite + Wandstärke) * cos 30°
ay = 2 * 4,37 mm * 0,866 = 7,569 mm.

Grafische Lösung einer Winkelfunktion
Abb. Lochabstand ay

Oder man skizziert einen Ausschnitt des Musters mit FreeCAD (oder einem anderen CAD-Programm) und misst den senkrechten Abstand (siehe Abb. Lochabstand).
Man erkennt drei identische Sechsecke mit SW3,5, Wandstärke 0,87 und der gewünschten Anordnung. Die Maße sind nur je einmal eingetragen und dann durch die Funktion gleiche Länge übertragen.
Die Skizze ist hellgrün, also vollständig bestimmt. Das letzte Maß 7,569 ist blau dargestellt und das bedeutet, dass dieses Maß eigentlich nicht mehr nötig ist, weil es durch die anderen Maße bestimmt ist.
Im Maschinenbau nennt man solche Maße Hilfsmaße und stellt sie in Klammern dar. In FreeCAD muss man für solche Maße beim Bemaßen Referenz einschalten, damit man keine Fehlermeldung bekommt.

Hin­wei­se:

  • Auf Ta­schen­rech­nern hat sich die Schreib­wei­se \(sin^{-1}, cos^{-1}\) und \(tan^{-1} \) statt arc­sin, arc­cos und arc­tan ein­ge­bür­gert. Die­se Schreib­wei­se darf in For­meln nicht ver­wen­det wer­den, da sie dort mit \(tan^{-1} = \frac {1}{­tan} = cot \) ver­wech­selt wer­den kann.
  • Der Co­tan­gens er­scheint auf Ta­schen­rech­nern meist gar nicht mehr, ver­mut­lich um ei­ne Taste zu spa­ren. Der Co­tan­gens kann aber durch Zu­sam­men­hang \(cot = \frac {1}{­tan} \) leicht er­setzt wer­den
  • In Ta­bel­len­kal­ku­la­tio­nen ha­ben sich die kor­rek­ten Schreib­wei­sen er­hal­ten.
  • Beim Schrei­ben von For­meln ver­wen­de ich im­mer die Rei­hen­fol­ge \(x = y \c­dot sin \alp­ha \) statt \(x = sin \alp­ha \c­dot y \), weil da­durch die Ver­wechs­lungs­ge­fahr et­was ge­rin­ger ist. So et­was kostet nichts au­ßer ein bis­schen Sorg­falt, kann aber in Klas­sen­ar­bei­ten gan­ze No­ten aus­ma­chen.
  • Das Wort 'Si­nus' kommt aus dem La­tei­ni­schen und be­deu­tet dort 'Bo­gen'. Den Grund für die­se Wort­wahl fin­det man im Ver­lauf der Si­nu­skur­ve (sie­he oben).

Sonsti­ges